Ошибка выглядит как невозможность залогиниться в игру. При попытке оно некоторое время пытается зайти, затем выдает ошибку в виде
"Login error
The login server does not respond. You may have a connection issue that is not related to the League of Legends server."

Причины:
Чаще всего данная проблема связана с настройками Internet Explorer-а, а точнее системными настройками доступа к интернет. Большинство пользователей не пользуются IE и даже не знают как именно он настроен.
Другая причина - блокировка антивирусом или фаерволом.

Как исправить ситуацию:
Для начала, запустите Internet Explorer и попробуйте зайти на любой сайт (google.com подойдет). Если зайти не удалось - значит мы нашли проблему.
Проверьте настройки прокси сервера.
Проверьте, что Internet Explorer не работает в автономном режиме.
В крайнем случае в Дополнительных Настройках Internet Explorer-а, попробуйте сбросить все настройки на заводские настройки по умолчанию.

Если проблема связана с антивирусом - временно отключите его целиком и попробуйте зайти в игру. Если удалось - значит вам нужно либо выключать антивирус во время игры, либо разобраться с его настройками и добавить разрешение для League of Legends.
Тоже касается и фаервола.

Проверьте, что проблема решена и вы теперь можете зайти в игру.